🎯 أهداف التعلّم والمتطلبات المسبقة

📐 ما هي الدالة؟ المجال والمدى

الدالة علاقة تربط كل عنصر من المجال (قيم x) بقيمة واحدة فقط في المدى (قيم y). نكتبها عادة: y = f(x).

• المجال (Domain): جميع قيم x المسموح بها.
• المدى (Range): القيم الناتجة لـ y عند التعويض في الدالة.

📈 الدالة الخطية: الميل والمقطع وطريقة الرسم

صيغتها الشائعة: y = mx + b حيث m = الميل و b = نقطة التقاطع مع محور y.

مثال محلول 2 (إيجاد المعادلة من نقطتين)

أوجد معادلة الخط المار بالنقطتين A(−1, 2) و B(3, 6).

1. الميل: m = (6 - 2) / (3 - (-1)) = 4/4 = 1.
2. المعادلة: y = x + b. عوّض بـ A: 2 = (−1) + b ⟹ b = 3.
3. النتيجة: y = x + 3.

جدول قيم سريع

🟰 الدالة التربيعية: الرأس ومحور التماثل وصيغ التمثيل

صيغتها العامة: y = ax² + bx + c حيث a ≠ 0. إذا a > 0 يكون القطع المكافئ مفتوحًا لأعلى، وإذا a < 0 مفتوح لأسفل.

مثال محلول 4 (المميز والتقاطعات)

للدالة y = −x² + 2x + 3:

• المميز: Δ = b² − 4ac = 4 − 4(−1)(3) = 16 ⇒ جذران حقيقيان.
• التقاطعات مع x: حل −x² + 2x + 3 = 0 ⇒ x = −1 أو x = 3.
• التقاطع مع y: عند x = 0 نحصل على y = 3.
• الرأس: x_v = −b/(2a) = −2/(−2) = 1 ثم y_v = −1 + 2 + 3 = 4 ⇒ (1, 4).

📊 لمحة سريعة: الدالة الأسية

الدالة الأسية على الصورة y = a·b^x مع a ≠ 0 و b > 0 و b ≠ 1. إذا b > 1 فهناك نمو، وإذا 0 < b < 1 فهناك اضمحلال.

مثال مختصر

y = 100·(1.05)^x يصف رصيدًا ينمو بنسبة 5% لكل فترة.

🔁 التحويلات على الرسوم

مثال محلول 5 (تحويلات على تربيعية)

حوّل y = (x − 2)² − 3 انطلاقًا من y = x²:

• إزاحة 2 يمينًا.
• إزاحة 3 وحدات لأسفل.

🔎 قراءة الرسم

• نقاط التقاطع مع x: حلول f(x) = 0.
• التقاطع مع y: قيمة f(0).
• الزيادة/النقصان: أين يرتفع/ينخفض الرسم بزيادة x.
• قيم عظمى/صغرى: قمّة/قاع الرسم (محلية أو مطلقة).

🧩 مسائل لفظية مختصرة

مثال 6 (خطي)

تكلفة ركوب سيارة أجرة: فتح العداد 1.5 ريال + 0.4 ريال لكل كيلومتر. مثّل التكلفة C(x) = 1.5 + 0.4x. عند 10 كم: C(10) = 1.5 + 4 = 5.5.

مثال 7 (تربيعي)

يرتفع جسم بسرعة ابتدائية في الفراغ الرأسي وفق h(t) = −5t² + 20t + 3 (متر). أقصى ارتفاع عند الرأس: t_v = −b/(2a) = −20/(−10) = 2 ثم h(2) = −20 + 40 + 3 = 23 متر.

📝 تمارين تدريبية (20 سؤال)

1. أوجد ميل الخط الواصل بين A(1,−3) و B(5,5).
2. اكتب معادلة الخط المار بـ (0,2) وميله −1/2.
3. هل العلاقة الممثلة برسم يمر بالنقاط (−1,1),(0,1),(1,1) دالة؟ ولماذا؟
4. حوّل y = x² + 6x + 5 إلى صيغة الرأس.
5. أوجد جذري المعادلة x² − 5x + 6 = 0.
6. احسب f(3) إذا كانت f(x) = 2x − 7.
7. ارسم بسرعة خط y = −3x + 4 بذكر نقطتين على الأقل.
8. للدالة y = −x² + 4x − 1 أوجد الرأس ومحور التماثل.
9. بيّن أثر تحويل y = (x + 1)² مقارنة بـ y = x².
10. جدول قيم لـ y = 0.5x + 1 عند x = −2,0,2.
11. إذا كان g(x) = 3(x − 2)² + 5 فأين يقع الرأس؟ وهل الفتحة لأعلى أم لأسفل؟
12. حل 2x − 5 = 9 ثم أعط نقطة على الخط y = 2x − 5.
13. أوجد نقطة التقاطع مع محور y في y = 4x − 9.
14. هل الدالة y = |x| خطية؟ فسّر.
15. لمحة: إذا P(t) = 200(0.9)^t، هل هناك نمو أم اضمحلال؟
16. احسب قيمة Δ لـ x² − 4x + 4 = 0 وفسّر عدد الجذور.
17. حوّل y = −2(x − 3)² + 1 إلى الصيغة العامة.
18. أين يقطع y = x + 1 المحور x؟
19. بيّن فترات الزيادة/النقصان للتربيعية y = (x − 1)² − 4.
20. سؤال لفظي: يبيع متجر اشتراكًا مقابل 5 ريالات أساسي + 1.5 ريال لكل ساعة استخدام. اكتب نموذج التكلفة.

⚠️ أخطاء شائعة وكيف تتجنبها

• الخلط بين y = f(x) + k و y = f(x + k) (الأولى إزاحة عمودية، الثانية أفقية عكس الإشارة).
• نسيان أن محور التماثل للتربيعية في الصيغة العامة هو x = −b/(2a).
• حساب الميل بترتيب نقاط خاطئ. انتبه لصيغة (y2 − y1)/(x2 − x1).
• قراءة الزيادة/النقصان من اليمين إلى اليسار بدلاً من اليسار إلى اليمين.

💡 خطة مذاكرة واقتراحات