24 أغسطس، 2025
Homecomputerالهندسة التحليلية للصف العاشر: الميل، معادلة المستقيم، المسافة، منتصف القطعة (شرح + أمثلة + تدريبات)

الهندسة التحليلية للصف العاشر: الميل، معادلة المستقيم، المسافة، منتصف القطعة (شرح + أمثلة + تدريبات)

By  computer  0 Comments
الهندسة التحليلية للصف العاشر: الميل، معادلة المستقيم، المسافة، منتصف القطعة (شرح + أمثلة + تدريبات)

📐 الهندسة التحليلية للصف العاشر: الميل، معادلة المستقيم، المسافة، منتصف القطعة شرح + أمثلة + تدريبات

مرجع شامل يساعدك على فهم أساسيات المستوى الإحداثي وكيفية التعامل مع الخطوط المستقيمة ومقاييس المسافة على الشبكة.

فهرس المحتويات
  1. 🎯 أهداف التعلّم والمتطلبات
  2. 🗺️ مراجعة سريعة للمستوى الإحداثي والمحاور
  3. 📈 الميل: التعريف والحساب والتفسير
  4. ✍️ صيغ معادلة المستقيم (ميل-مقطع، نقطة-ميل، الصيغة العامة)
  5. ↔️ خطوط متوازية ومتعامدة
  6. 📏 المسافة بين نقطتين ونقطة منتصف القطعة
  7. 🧩 مسائل تطبيقية من الواقع
  8. 📝 20 تمرينًا مع الحلول المختصرة
  9. ⚠️ أخطاء شائعة + نصائح المذاكرة
  10. 📎 ملخص سريع (Cheat Sheet)

🎯 أهداف التعلّم والمتطلبات

ستتعلم أن:
  • تحسب الميل وتفسره كـ معدل تغيّر.
  • تكتب معادلة مستقيم بأكثر من صيغة وتحوّل بينها.
  • تجد المسافة بين نقطتين ونقطة المنتصف بدقة.
  • تتعرف على التوازي والتعامد باستخدام الميل.
مراجعة لازمة:
  • ترتيب أزواج: (x,y) وتحديد ربع النقطة.
  • عمليات جبرية أساسية.

🗺️ مراجعة المستوى الإحداثي

يتقاطع المحوران x و y عند الأصل (0,0)، وتقسم المستوي إلى أربعة أرباع. الإشارة تحدد الربع.

تحديد الربع

  • الربع الأول: (+,+)
  • الثاني: (−,+)
  • الثالث: (−,−)
  • الرابع: (+,−)
مثال سريع: النقطة (−3,4) تقع في الربع الثاني؛ لأنها سالبة على x وموجبة على y.

📈 الميل: التعريف والحساب والتفسير

الميل يساوي مقدار التغيّر الرأسي على التغيّر الأفقي: m = (y2 − y1) / (x2 − x1). يمثّل مدى ارتفاع الخط لكل خطوة يمينًا.

تفسير الميل

  • موجب: الخط يصعد من اليسار إلى اليمين.
  • سالب: الخط يهبط.
  • صفر: خط أفقي.
  • غير معرّف: خط رأسي (تقسيم على صفر).

مثال 1 (حساب الميل)

للنقطتين A(−2,1) و B(4,7):

m = (7 − 1) / (4 − (−2)) = 6 / 6 = 1.

مثال 2 (ميل من جدول قيم)

xy
02
38

m = (8 − 2) / (3 − 0) = 6/3 = 2.

✍️ صيغ معادلة المستقيم

1) ميل-مقطع

y = mx + b حيث m الميل و b تقاطع y.

2) نقطة-ميل

y − y1 = m(x − x1) مفيدة عند معرفة نقطة والميل.

3) الصيغة العامة

Ax + By + C = 0 مع A,B ليسا كلاهما صفرًا. يمكن التحويل بين الصيغ بالتبسيط والجمع.

مثال 3 (معادلة من نقطة وميل)

اكتب معادلة الخط الذي يمر بـ (2,−1) وميله 3:

  1. y − (−1) = 3(x − 2) ⇒ y + 1 = 3x − 6.
  2. y = 3x − 7.

مثال 4 (من نقطتين)

النقطتان A(1,4) و B(5,−2):

  1. الميل: m = (−2 − 4)/(5 − 1) = −6/4 = −3/2.
  2. باستخدام نقطة-ميل مع A: y − 4 = (−3/2)(x − 1) ⇒ y = (−3/2)x + 3/2 + 4 = (−3/2)x + 11/2.

جدول تحويلات سريع

منإلىالخطوات
نقطة + ميلميل-مقطعاستخدم y − y1 = m(x − x1) ثم بسّط إلى y = mx + b.
ميل-مقطععامّةانقل الحدود لجهة واحدة ثم رتّب: mx − y + b = 0.
عامّةميل-مقطعحل المعادلة لـ y: y = (−A/B)x − C/B (إذا B≠0).

↔️ خطوط متوازية ومتعامدة

  • التوازي: خطّان متوازيان لهما الميل نفسه m_1 = m_2 (مع اختلاف b).
  • التعامد: حاصل ضرب ميليهما m_1 · m_2 = −1 ⇒ m_2 = −1/m_1 (الميل السالب المقلوب).

مثال 5 (موازٍ)

معادلة خط موازٍ لـ y = 2x + 1 ويمر بـ (0,−3) هي y = 2x − 3.

مثال 6 (عمودي)

خط عمودي على y = (1/2)x − 4 ويمر بـ (2,1) له ميل m = −2 ⇒ y − 1 = −2(x − 2) ⇒ y = −2x + 5.

📏 المسافة بين نقطتين ونقطة المنتصف

المسافة بين نقطتين

AB = √[(x2 − x1)^2 + (y2 − y1)^2] (ناتجة من فيثاغورس).

مثال 7

المسافة بين A(−1,2) و B(3,−4):

AB = √[(3 − (−1))^2 + (−4 − 2)^2] = √[4^2 + (−6)^2] = √(16+36) = √52 ≈ 7.211.

نقطة منتصف القطعة

M = ( (x1 + x2)/2 , (y1 + y2)/2 ).

مثال 8

منتصف A(−1,2) و B(3,−4) هو M(1, −1).

صيغة المسافة عن مستقيم (اختياري متقدّم)

المسافة من نقطة (x0,y0) إلى الخط Ax + By + C = 0 هي d = |Ax0 + By0 + C| / √(A^2 + B^2).

🧩 مسائل تطبيقية من الواقع

مثال 9 (تكلفة وتغيّر ثابت)

تكلفة اشتراك إنترنت: 5 دنانير ثابتة + 0.8 دينار لكل جيجابايت مستخدمة. النموذج: C(x) = 5 + 0.8x. الميل 0.8 يعني زيادة 0.8 دينار لكل 1 جيجابايت.

مثال 10 (خريطة ومسافة)

نقطة المدرسة S(2,3) والبيت H(−4,0). المسافة بينهما √[(−6)^2 + (−3)^2] = √45 ≈ 6.708 وحدات على الخريطة.

📝 20 تمرينًا مع الحلول المختصرة

  1. أوجد ميل الخط الواصل بين (−3,5) و (1,−7).
  2. اكتب معادلة المستقيم المار بـ (0,4) وميله −3.
  3. هل الخط 2x − 4y + 8 = 0 موازي لـ y = (1/2)x − 1؟
  4. اكتب معادلة خط عمودي على y = −(2/3)x + 1 ويمر بـ (−3,2).
  5. حوّل 3x + 2y − 10 = 0 إلى صيغة ميل-مقطع.
  6. أوجد نقطة تقاطع y = 2x − 1 مع محور y.
  7. أوجد نقطة المنتصف بين (4,−2) و (−6,8).
  8. احسب المسافة بين (2,−1) و (−1,5).
  9. إذا كان خطان متعامدان وميل الأول 3، فما ميل الثاني؟
  10. أوجد معادلة المستقيم المار بالنقطتين (−2,−3) و (4,9).
  11. ما اتجاه الخط ذي الميل 0؟
  12. خط رأسي يمر بـ x = −5، اكتب معادلته.
  13. حوّل y − 7 = −4(x + 1) إلى الصيغة العامة.
  14. ما المسافة من النقطة (0,3) إلى الخط y = 3؟
  15. اكتب معادلة خط ميله 1/4 ويقطع y عند −2.
  16. حدّد إذا كانت النقاط (0,0)، (2,2)، (3,3) على خط واحد.
  17. أوجد طول القطعة الواصلة بين (a,b) و (a+3,b−4).
  18. إذا كان المتوسط الحسابي لإحداثيي x لنقطتين هو 5، فما إحداثي x لنقطة منتصفهما؟
  19. جد ميل خط يمر بنقطتين إحداهما (−1,2) والأخرى (−1,−4).
  20. اكتب معادلة خط موازٍ لـ 4x − y + 2 = 0 ويمر بـ (1,1).
إجابات مختصرة
  1. m = (−7 − 5)/(1 − (−3)) = −12/4 = −3.
  2. y = −3x + 4.
  3. الصيغة العامة: 2x − 4y + 8=0 ⇒ y = (1/2)x + 2 ليست مساوية للثانية (مقاطع مختلفة) لكن الميل نفسه ⇒ نعم متوازيان.
  4. الميل العمودي 3/2 بإشارة موجبة ⇒ y − 2 = (3/2)(x + 3) ⇒ y = (3/2)x + 13/2.
  5. 2y = −3x + 10 ⇒ y = (−3/2)x + 5.
  6. عند x=0 ⇒ y = −1 ⇒ النقطة (0,−1).
  7. M = ((4 + (−6))/2 , (−2 + 8)/2) = (−1, 3).
  8. √[(−1 − 2)^2 + (5 − (−1))^2] = √[9 + 36] = √45 ≈ 6.708.
  9. m_2 = −1/3.
  10. m = (9 − (−3))/(4 − (−2)) = 12/6 = 2 ⇒ y − (−3) = 2(x − (−2)) ⇒ y = 2x + 1.
  11. أفقي.
  12. x = −5.
  13. y − 7 = −4x − 4 ⇒ 4x + y + (−7 + 4) = 0 ⇒ 4x + y − 3 = 0.
  14. صفر (نفس قيمة y).
  15. y = (1/4)x − 2.
  16. نعم، جميعها تحقق y = x.
  17. √(3^2 + (−4)^2) = 5.
  18. هو نفسه 5.
  19. غير معرّف (خط رأسي).
  20. نفس الميل: y = 4x + b. استخدم النقطة 1 = 4·1 + b ⇒ b = −3 ⇒ y = 4x − 3.

⚠️ أخطاء شائعة + نصائح المذاكرة

أخطاء شائعة:
  • الخلط بين الميل غير المعرّف (عمودي) والميل صفر (أفقي).
  • نسيان ترتيب النقاط في صيغة الميل؛ انتبه لـ (y2 − y1)/(x2 − x1).
  • عدم تبسيط المعادلة إلى صيغة مفيدة عند الرسم.
روتين 30 دقيقة:
  1. 10 دقائق مراجعة الصيغ.
  2. 15 دقيقة مسائل نقطتين/نقطة-ميل.
  3. 5 دقائق بنك الأخطاء.

📎 ملخص سريع (Cheat Sheet)

المفهومالصيغةملاحظة
الميلm = (y2 − y1)/(x2 − x1)تغيّر رأسي/أفقي
ميل-مقطعy = mx + bسهل للرسم
نقطة-ميلy − y1 = m(x − x1)مباشر من نقطة وميل
عامّةAx + By + C = 0لتحليل خواص الخط
منتصفM((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)متوسط الإحداثيين
المسافة√[(Δx)^2 + (Δy)^2]فيثاغورس
عموديm_2 = −1/m_1ميل سالب مقلوب
اربط هذا الدرس بدروس الدوال الخطية والنمذجة لتكوين سلسلة متكاملة لطلابك.

© محتوى تعليمي عالي القيمة — جاهز للنشر كـ HTML. يمكنك تغيير اللون عبر المتغيّر --brand.

Related Posts

About Author

moded123

Add a Comment

لن يتم نشر عنوان بريدك الإلكتروني. الحقول الإلزامية مشار إليها بـ *