🎯 أهداف التعلم والمتطلبات

📚 أنواع البيانات وجداول التكرار

• كمّية (Numerical): مثل الدرجات، الأطوال، الأوزان.
• وصفية/اسمية (Categorical): مثل الجنس، نوع الهاتف، اللون.

لتسهيل التحليل، نعرض البيانات في جدول تكرار يوضح كل قيمة وعدد مرات تكرارها. عند البيانات الكبيرة نستخدم فئات (Intervals).

مثال لجدول تكرار (بيانات غير مجمعة)

📐 مقاييس النزعة المركزية

1) الوسط الحسابي (Mean)

هو مجموع القيم ÷ عددها: \bar{x} = \dfrac{\sum x_i}{n}.

2) الوسيط (Median)

هو القيمة الواقعة في منتصف البيانات المرتبة تصاعديًا. إذا كان عدد القيم n فرديًا فالوسيط هو القيمة الوسطى، وإذا كان زوجيًا فهو متوسط القيمتين الوسطيتين.

3) المنوال (Mode)

أكثر قيمة تكررت في البيانات. قد يكون هناك أكثر من منوال، وقد لا يوجد منوال إذا كانت التكرارات متساوية.

📏 مقاييس التشتت

1) المدى (Range)

أبسط مقياس: Range = Max − Min.

2) التباين والانحراف المعياري

يبيّنان مقدار تباعد القيم عن الوسط.

• تباين المجتمع \sigma^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{N}
• تباين العينة s^2 = \dfrac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n-1}
• الانحراف المعياري هو الجذر التربيعي للتباين: \sigma = \sqrt{\sigma^2} أو s = \sqrt{s^2}.

3) الربيعات و IQR

يقسم الوسيط البيانات إلى نصفين. الربيع الأول Q1 هو وسيط النصف الأدنى، والربيع الثالث Q3 وسيط النصف الأعلى. مقياس التشتت IQR يُحسب: IQR = Q3 − Q1.

🧮 أمثلة محلولة خطوة بخطوة

مثال 1: وسط/وسيط/منوال/مدى

لدى المعلم درجات: 12، 15، 15، 18، 19، 20، 21، 25.

1. الوسط: المجموع = 12+15+15+18+19+20+21+25 = 145 ⇒ \bar{x} = 145 / 8 = 18.125.
2. الوسيط: عدد القيم زوجي (8) ⇒ متوسط القيمتين 4 و5 بعد الترتيب: (18 و 19) ⇒ Median = (18+19)/2 = 18.5.
3. المنوال: 15 لأنه الأكثر تكرارًا.
4. المدى: 25 − 12 = 13.

مثال 2: الانحراف المعياري (عينة)

نستخدم نفس البيانات كعينة (n=8):

1. الوسط حسبناه = 18.125.
2. احسب الفروق (x_i − \bar{x}) ثم مربعاتها:

إذن s^2 = 116.875 / (8 − 1) = 16.6964 تقريبًا، و s ≈ √16.6964 ≈ 4.087.

مثال 3: الربيعات و IQR

بعد ترتيب البيانات: 12، 15، 15، 18، 19، 20، 21، 25.

• الوسيط بين القيمتين 18 و19 ⇒ 18.5.
• النصف الأدنى: 12، 15، 15، 18 ⇒ Q1 = (15 + 15)/2 = 15.
• النصف الأعلى: 19، 20، 21، 25 ⇒ Q3 = (20 + 21)/2 = 20.5.
• IQR = 20.5 − 15 = 5.5.

📦 بيانات مجمّعة (فئات) – صيغ تقريبية

عند وجود بيانات كثيرة، ننظمها في فئات مثل (10–14، 15–19، 20–24 …). نستخدم نقطة منتصف الفئة كقيمة تمثيلية.

وسط تقريبي = مجموع (المنتصف × التكرار) ÷ مجموع التكرارات = 165 / 10 = 16.5.

🔎 تفسير النتائج وتأثير القيم المتطرفة

• إذا ظهرت قيمة كبيرة جدًا أو صغيرة جدًا مقارنة بباقي البيانات، فإن الوسط يتأثر بقوة، بينما الوسيط يبقى أكثر تمثيلًا للمركز.
• انحراف معياري كبير يعني البيانات متفرقة حول الوسط، وصغير يعني البيانات متجمّعة.
• عند مقارنة مجموعتين: استخدم الوسط + الانحراف المعياري أو الوسيط + IQR لرؤية الصورة الكاملة.

📝 20 تمرينًا مع الحلول المختصرة

1. احسب الوسط لمجموعة: 8، 9، 10، 12، 13.
2. أوجد الوسيط للبيانات: 5، 7، 9، 10، 12، 12، 14.
3. حدّد المنوال للبيانات: 2، 2، 3، 4، 4، 4، 5.
4. أوجد المدى: 30، 32، 29، 45، 31.
5. رتّب البيانات ثم احسب Q1 و Q3 لمجموعة: 4، 7، 8، 9، 10، 12، 15، 20.
6. احسب الانحراف المعياري (عينة) لمجموعة: 6، 8، 10.
7. أيهما أدق لتمثيل المركز عند وجود 100، 101، 102، 900؟ ولماذا؟
8. في بيانات مجمّعة (0–4، 5–9، 10–14) بتكرارات (4، 3، 3)، احسب الوسط التقريبي.
9. صف دلالة انحراف معياري = 0.
10. إذا زادت كل القيم بمقدار 5، ماذا يحدث للوسط والانحراف المعياري؟
11. إذا ضربنا جميع القيم في 3، كيف يتغير الوسط والانحراف المعياري؟
12. بيانات: 11، 12، 13، 14، 50. احسب الوسط والوسيط وعلّق.
13. لدى فصلان نفس الوسط 70 لكن الانحراف المعياري للأول 2 وللثاني 10. ماذا تفهم؟
14. أوجد IQR لبيانات: 1، 2، 2، 3، 4، 6، 9، 10.
15. متى يمكن أن يكون لا يوجد منوال؟ أعط مثالًا.
16. في جدول تكرار للقيم 3،4،5 مع تكرارات 2،3،5 احسب الوسط.
17. إذا كان \bar{x} = 20 لمجموعة من 5 قيم ومجموع القيم 95، ما قيمة العنصر المفقود؟
18. احسب التباين لعينة: 2، 2، 2، 2.
19. بيانات: 7، 7، 8، 9، 9، 10، 10، 12. احسب الوسيط.
20. لماذا قد نفضّل الوسيط على الوسط عند دراسة دخل الأفراد؟

💡 خطة مذاكرة سريعة + أخطاء شائعة